Triángulos Parte VI (Dominios de las funciones trigonométricas, e identidades trigonométricas)

El dominio de cada uno de estas funciones trigonométricas es el conjunto de todos los ángulos agudos.

Los valores de las funciones trigonométricas dependen solo del tamaño del angulo y no del tamaño del triangulo rectángulo, obtendremos el mismo valor del angulo independientemente del triangulo que utilicemos para calcularlo, y se aplica a cualquiera de las funciones trigonométricas.

Identidades trigonométricas: es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas)

Proxima entrada operaciones con las identidades trigonometricas.

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Triángulos Parte V (Trigonometría del triángulo rectángulo)

La palabra trigonometría (del griego trigonon, triangulo y metria, medición) se refiere a la medición de triángulos.

Demostraremos que las funciones trigonométricas de un angulo agudo de un triángulo rectángulo tienen una definición equivalentes en función de las longitudes de los lados del triangulo.

Este es un triángulo rectángulo y sus lados se identifican como a, b, c. (que indican sus sus longitudes respectivas , y uno de sus ángulos agudos se representa por Θ (theta). Por el teorema de pitagoras , a2 +b2 =c2. El lado opuesto al angulo recto se llama hipotenusa; los otros 2 lados son los catetos del triangulo. Los catetos indicados con a y b son, respectivamente, el cateto adyacente (ady) al angulo Θ (theta) y el cateto opuesto al angulo Θ (theta). Tambien usaremos las abreviaturas hip, ady, y op. Para representar las longitudes de esos lados.

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO Θ AGUDO EN UN TRIANGULO SON:

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Triángulos Parte IV (Ángulos complementarios y suplementarios, calculo de longitud de arco)

Comenzaremos con un recordatorio de geometría, a un angulo de 90° se le llama ángulo recto, y un angulo de 180° se llama ángulo recto doble. En radianes π/2 es un angulo recto, y π es un angulo recto doble. Un angulo agudo mide entre 0° y 90° (o entre 0 y π/2 radianes), y un angulo obtuso mide entre 90° y 180° (o entre π/2 y π radianes).

Dos ángulos agudos son complementarios si suman 90° (o π/2 radianes).

Dos ángulos positivos son suplementarios si suman 180° (o π radianes). Un triangulo que contiene un angulo recto se llama triangulo rectángulo.

Un angulo cuyo lado terminal coincide con un eje de coordenadas se llama angulo cuadrantal. Por ejemplo, 90° (o π/2 radianes) es un angulo cuadrantal.

Las longitudes a,b,c de los lados de un triangulo rectángulo satisfacen la relación pitagórica a2 + b2 = c2, donde c es la longitud del lado opuesto al angulo recto (la hipotenusa); los otros lados son los catetos.

a) calcular el angulo que es complementario de θ = 74.23°

b) calcular el angulo que es suplementario de θ = π/3 radianes.

Solución:

a) Como dos ángulos son complementarios si suman 90°, se ve que el angulo que es complementario de θ = 74.23°

90° - θ = 90° - 74.23° = 15.77°

b) como 2 ángulos son suplementarios si suman π radianes, se ve que el angulo que es suplementario de θ = π/3 radianes es:

π – θ = π – π/3 = 3π/3 – π/3 = 2π/3 radianes.

LONGITUD DE ARCO

Con un angulo θ con su vértice en el centro de un circulo de radio r se llama angulo central θ se llama sector.

La longitud del arco del circulo abarcado (subtendido, o cortado) por el angulo θ, se representa con s. Cuando se mide en radianes, el angulo central corresponde a θ/2π de una rotación completa. Por consiguiente, el arco abarcado por θ es θ/2π de la circunferencia del circulo. Así, la longitud s del arco es

siempre que θ se exprese en radianes. Este resultado se resume asi:

Un angulo central de θ radianes en un circulo de radio r abarca un arco de longitud.

s = rθ

mediante esta ecuación se puede expresar la medida de θ en radianes de un angulo central, en un circulo, en función de la longitud del arco abarcando s y del radio r del circulo.

Θ (en radianes) = s/r.

Calculo de la longitud del arco:

a) 2 radianes en un circulo de 6 pulgadas de radio

b) 30° en un circulo de 12 pies de radio.

Solución:

a) de acuerdo a la formula Θ (en radianes) = s/r, de la longitud del arco , con θ=2 radianes, y r = 6, pulgadas, s = rθ, 2*6 = 12. Entonces la longitud del arco es de 12 pulgadas.

b) primero se debe expresar 30° en radianes. Recordando que 30° = π/6 radianes, entonces usando la formula anterior de la longitud de arco s=θr, (12)(π/6) = 2π. Entonces la longitud del arco es 2π, entonces la longitud del arco es 2π = 6.28 pies

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Triangulos PARTE III (Radianes)

Medición de ángulos (Radianes).

La medida de un angulo en radianes se basa en la longitud de un arco del circulo:

ecuación de un circulo: x2 + y2 = 1

el arco de un circulo es: cualquier curva continua que une dos puntos. También, se denomina arco a un segmento de circunferencia; un arco de circunferencia queda definido por tres puntos, o dos puntos extremos y el radio, o por la longitud de una cuerda y el radio.

El arco es la sección de color rojo

Un angulo θ en posición normal se considera formado por la rotación del lado inicial, desde el eje x (positivo) hasta su lado terminal. El lado inicial de θ recorre una distancia t a lo largo de la circunferencia. Se entiende como la medida de θ es de t radianes.

En radianes se usa la misma convención que con la medida en grados: un angulo formado por una rotación contraria al movimiento de las manecillas del reloj, se considera positivo, mientras que un angulo formado por una rotación en sentido del movimiento de las manecillas del reloj se considera como negativo.

Como la circunferencia del circulo es 2π un angulo formado por la rotación en contra de las manecillas del reloj es 2π radianes:

el radio de la circunferencia se coloca de forma como la tangente:

esta linea se subtiende desde el origen a la distancia de esta:

se toma una linea del centro al, origen del arco y otra al punto terminal de este arco, y es lo que se conoce como radian (el nombre proviene de la distancia del radio) el primer segmento es un radian (1 rad).

Tomando de nuevo la distancia del segmento, y colocándola adelante de este, se forma lo que es 2 radianes (2 rad).

Y lo mismo al volver a colocar el segmento adelante del ultimo se forma lo que son 3 radianes (3 rad).

Se puede observar que queda una pequeña porción antes de llegar a los 180°, por lo que se toma como la parte faltante y:

lo que se obtiene es π radianes:

completando el circulo tenemos 2π rad:

Un ángulo de 1 radián corresponde al arco de circunferencia cuya longitud es su radio. Una circunferencia completa corresponde a 2π radianes 

La definición de radian no depende del tamaño del circulo. Para entender esto, lo único que necesitamos hacer es dibujar otro circulo centrado en el vértice de θ, de radio r' y longitud de arco subtendido s'.

Los dos sectores (s , s') son similares las razones s/r y s'/r' son iguales por lo que independientemente del circulo, obtendremos la misma medida en radianes de θ. 

La siguiente ecuación es posible utilizarla tanto para r y como a s. θ (en radianes) = s (unidades de longitud)/r (unidades de longitud).

Esto es un valor adimensional (no posee unidades), es decir si r = 2 pulgadas y s = 4 pulgadas, entonces θ = 4 (pulgadas) / 2 (pulgadas) el resultado es 2, es un numero real. Esta es una de las razones que se omite emplear la palabra radianes cuando se usan radianes en los cálculos.

Tenemos que una rotacion completa del lado inicial de θ atravesara un arco igual en longitud a la circunferencia del circulo 2 π r , se puede deducir que:

una rotación =s/r = 2 π r/r = 2 π radianes.

Formulas de conversión:

La circunferencia de un circulo unitario es 2π, una rotación completa mide 2π radianes, y que también son 360°

Entonces se dice que 360° = 2π radianes, o 180° = π radianes.

Obteniéndose 2 formulas para esto:

Grados = π/180 radian
Radian = (180/π) grados.

Haciendo las operaciones queda:

1° = 0.0174533 radian y 1 radian = 57.29578°

Ejemplos de conversiones:
a) 20° a radianes b) 7π/6 radianes a grados c) 2 radianes a grados

Solución
a)
para la conversión usamos la ecuación:

entonces procedemos así:

b)
se usa la ecuación:

se procede así:

c)
Usamos la ecuación:

y se procede de la siguiente manera:

resumen de los radianes – grados.

Grados	0	30	45	60	90	180
Radianes	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π

.

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Triángulos (los ángulos)

PARTE II (angulos)

TRIGONOMETRIA DEL TRIANGULO RECTANGULO

Medición de ángulos (grados).

Un angulo se forma con dos semirrectas, que tienen un extremo en común llamado vértice . A una semirrecta la llamaremos lado inicial del angulo, y al otro, lado terminal:

Cuando se presenta en el plano cartesiano, (x,y) se dice que el angulo esta en su posición normal. 

MEDICIÓN EN GRADOS 

Se basa en la asignación de 360 grados (se escribe 360°) al angulo formado por una rotación completo en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

Los otros ángulos se miden en función de los 360°, un angulo de 1° es el que se forma de 1/360 de una rotación completa (es 1/360 parte de 360°). 

Si la rotación es contraria al movimiento de las manecillas del reloj, la medida sera positiva, si es en sentido a las manecillas del reloj la medida sera negativa:

En la imagen anterior (lado izquierdo) se obtiene un cuarto (1/4) de rotación, siendo esto es 360° * 1/4 = 360°/4= 90° , en la figura (del lado derecho) el angulo formado por 3/4 en el sentido de las manecillas del reloj, este angulo es -360° * 3/4= -360° *.75 = -270°. 

ÁNGULOS COTERMINANTES 

Observando la imagen anterior y comparando ambos elementos se observa que el angulo terminal de 90° coincide con el lado terminal de -270°. cuando ambos ángulos tienen los mismos lados terminales se dice que son ángulos coterminates

La suma de cualquier múltiplo entero de 360° a un angulo dado da como resultado un angulo coterminal. Al revés, dos ángulos coterminates tienen medidas en grados que difieren por un múltiplo entero de 360°. 

Ejemplo: 

para un angulo de 960°: 

a) ubicar el lado terminal y trazar el angulo. 

b) determinar un angulo coterminal entre 0° y 360° 

c) determinar un angulo coterminal entre -360° y 0° 

a) primero se determinan cuantas rotaciones completas se dan para formar este ángulo. 

Se divide 960 / 360 = 2.66666 , esto es que tiene 2 vueltas completas, el 0.66666 es el residuo, debemos de tratarlo de la siguiente manera: 

360 * 0.66666666 = 239.99999 = 240, por lo que: 

960° = 2(360°) + 240° 

Entonces este angulo se forma dando dos rotaciones en sentido contrario a las manecillas del reloj, y haciendo después 240/360 = 120/180 = 60/90 = 20/30 , ambos términos se pueden reducir a lo mínimo, esto es dividirlo entre 10, quedando 2/3 = 0.66666666 que es lo mismo que 240/360 = 0.66666666 lo que hace las fracciones equivalentes.

por tanto son 2 2/3 de vuelta

b) en la figura se muestra que el angulo de 240° es coterminal con un angulo de 960°. 

c) se puede ver el angulo -120° es coterminal del de 960° 

Minutos y segundos. 

Las fracciones de grados se han expresado en minutos y segundos. 

donde : 

1° (léase 1 grado) = 60 minutos (se escribe 1') 

1' (léase 1 minuto) = 60 segundos (se escribe 60”) 

Un angulo se expresa de la siguiente forma: 7 grados, 30 minutos, 5 segundos se escribe de la forma 7°30'5” 

Ejemplos de conversiones: 

Convertir: 

a) 86.23° en grados, minutos, segundos. 

b) 17° 47' 13” en notación decimal. 

a).- 

Como 0.23° se representa como 23/100 de 1° y que 1° = 60'

se tiene 

86.23° = 86° + 0.23° 

=86° + (0.23)(60') 

=86° + 13.8' 

ahora 13.8' = 13 ' + 0.8' , por lo que debemos convertir 0.8' en segundos. Puesto que 0.8' representan 8/10 de 1' y 1' = 60”, tenemos: 

86° +13' + 0.8' = 86°+13'+(0.8)(60”) 

=86° +13' + 48” 

por tanto: 86.23° = 86°13'48” 

b).- 

ya que 1° = 60', se desprende que 1' = (1/60)°. Del mismo modo, encontraremos que 1” = (1/60) = (1/3600)°. Así que: 

17°47'13” = 17° + 47' + 13” 

= 17° + 47(1/60)° + 13(1/3600)° 

= 17° + 0.7833 ° + 0.0036° 

=17.7869° 

NOTA: 3600 es la cantidad de segundos en una hora es decir 60 minutos * 60 segundos.

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Triangulos Parte I

Triangulos

PARTE I

Un triángulo es un polígono, que es una figura plana limitadas por rectas que forman una linea cerrada, hay que considerar los lados, los ángulos, los vértices, las diagonales, y el perímetro.

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:

Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.

Diagonal (D): es el segmento que une dos vértices no consecutivos.

Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.

Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.

Ángulo interior (AI): es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos.

Ángulo exterior (AE): es el ángulo formado, externamente al polígono, por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. En un polígono regular se puede distinguir, además:

Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.

Ángulo central (AC): es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.

Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

Según las propiedades que cumpla el contorno del polígono, es posible realizar la siguientes clasificaciones. 

Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno. 

Complejo o Cruzado , si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan. 

Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos menores que 180º es convexo. 

No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos. 

Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.

Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.

Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.

Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.

Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.

Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos. 

Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos x o y.

Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.

Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc. 

Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado.

Clases de polígonos:
Dependiendo de numero de lados o ángulos,los polígonos se clasifican en:
triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos, endecágonos, dodecágonos, pentedecágonos:

Clasificación de polígonos según el número de lados
Nombre	n.º lados
trígono, triángulo	3
tetrágono, cuadrángulo, cuadrilátero	4
pentágono	5
hexágono	6
heptágono	7
octógono u octágono	8
eneágono o nonágono	9
decágono	10
endecágono o undecágono	11
dodecágono	12
tridecágono	13
tetradecágono	14
pentadecágono	15
hexadecágono	16
heptadecágono	17
octodecágono	18
eneadecágono	19
isodecágono, icoságono	20
triacontágono	30
tetracontágono	40
pentacontágono	50
hexacontágono	60
heptacontágono	70
octocontágono	80
eneacontágono	90
hectágono	100
chiliágono	1000
miriágono	10 000
decemiriágono	100 000
hectamiriágono, megágono	1 000 000
apeirógono	∞

Ahora nos enfocaremos a los polígonos de tres lados (triángulos)

podemos decir que los polígonos son:
cóncavos el que tiene uno o varios ángulos mayores de 180°
convexos el que tiene todos sus ángulos menores que 180°

Polígono equilátero .- es el que tiene todos sus lados iguales.
Polígono equiángulo .- es el que tiene todos sus ángulos iguales.
Polígono regular .- es el que es equiángulo y a su vez equilátero.

En base a lo anterior un triángulo es por tanto un polígono de tres lados

Se designan generalmente los ángulos de un triangulo por la letras mayúsculas (A, B, C) y los lados opuestos a estos ángulos en minúsculas (a b c):

La base de un triangulo es por el lado sobre el cual parece descansar, y la altura es la perpendicular a la base, trazada desde el vértice opuesto.

La base es la linea que comprende desde A a B se expresa como AB, y la altura CD, en las figuras anteriores.

Se puede tomar como base de un triangulo cualquiera de sus lados, y a cada base corresponde una altura distinta.

Mediana: es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto (linea CF).

Mediatriz: es la perpendicular trazada en el punto medio de un lado. También se le llama perpendicular bisectriz.

Bisectriz :- es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales ; CE.

Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los 2 lados del ángulo
Dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro y medio ángulos y sus bisectrices se cortan conformando ángulos rectos entre ellas.

Todo triángulo tiene tres alturas, tres medianas, tres mediatrices y tres biscetrices.

Las alturas, medianas y mediatrices se refieren a los lados, mientras que las bicestrices corresponden a los ángulos.

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Geometría Elemental II

Geometría Elemental

PARTE II

La geometría (del latín geometría, y este del griego γεωμετρία de γεω gueo, ‘tierra’, y μετρία metría, ‘medida’) es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.). 

13) Fórmulas de áreas y volúmenes
TetraedroÁrea del tetraedro.

Volumen tetraedro

                                

Un tetraedro (del griego τέτταρες "cuatro" y ἕδρα "asiento") es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular. El tetraedro es el símplex tridimensional.

Número de caras: 4 (4 triangulos)
Número de vértices: 4.
Número de aristas: 6.
Nº de aristas concurrentes en un vértice: 3.

14) Octaedro

Área de un Octaedro

Volumen de un Octaedro:

Un octaedro (del griego ὀκτώ "ocho" y ἕδρα "asiento" o "cara") es un poliedro de ocho caras. Con este número de caras puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de siete lados o menos. Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo una figura de los llamados sólidos platónicos.

Numero Vértices = 6
Numero Aristas = 12
Numero Caras = 8 (8 triángulos)

15) ICOSAEDRO
Área de un icosaedro

Volumen de un icosaedro

Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros y congruentes, iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro.

Vertices = 12
Aristas = 30
Caras = 20 (20 triangulos)

16) Dodecaedro

Área de un dodecaedro.

Volumen de un dodecaedro.

Un dodecaedro (del griego δώδεκα, ‘doce’ y ἕδρα; ‘asiento’, ‘posición’, en geometría ‘cara’) es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Recientes investigaciones científicas han propuesto que el espacio dodecaédrico de Poincaré sería la forma del Universo1 2 3 y en el año 2008 se estimó la orientación óptima del modelo en el cielo.

Vértices = 20
Aristas = 30
Caras = 12 (12 Pentágonos)


Si quieres saber de alguna otra figura, dejame un comentario o bien envía un correo, y responderé.

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Triángulos
Parte I
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